… 15.5 Числа Мерсенна через дуальность простых чисел

1-1-2– Page 1 –1-0-2

 15.5 Числа Мерсенна через дуальность простых чисел

 

В Главах 13, 14, 15.1 – 15.4 мы рассмотрели, что паттерн Мироздания формируется и развивается по законам простых чисел, которые распадаются на 2 класса – мужские и женские. В научном мире простые числа исследуются давно и одним из результатов исследований стало открытие простых чисел Мерсе́нна. Развитие вычислительной техники способствовует расширению класса чисел Мерсе́нна новыми числами за счет регулярно увеличивающегося вычислительного ресурса. Недавно было открыто 48-ое число такого класса. Это сделал профессор Кёртис Купер из университета Центрального Миссури США 5 февраля 2013 года.  На сегодня оно является самым большим простым числом и состоит из 17425170 десятичных разрядов. Если записать его на бумаге обычного формата по 2500 знаков на каждой странице, то число займет 6971 страницу. Такое число сложно записать, но чтобы его найти необходимо было задействовать громадные вычислительные ресурсы.

Числа Мерсе́нна – это числа вида Mi =2m-1, для m>1, в которых и само число Mi (в данном случае M48), и показатель степени “m” (m = 57885161) являются простыми числами (M48 = 257885161 – 1). Рассмотрим числа Мерсе́нна через призму дуальности простых чисел и ответим на вопрос, как соотносятся числа Мерсе́нна с женским М-1 и мужским М+1 классами простых чисел, ряды которых начинаются от чисел 5 и 7 или более исходно – от “-1” и “+1”. Все множество простых чисел класса M-1 – это множество чисел, которые удовлетворяют условию: pi = 6n-1, а класса М+1 – условию pj = 6n+1, где pi и pj – простые числа соответствующего класса. Исключим числа M1=2 и M2=3 из класса чисел Мерсе́нна (Мk, где k – порядковый номер числа), так как они меньше пороговых значений чисел 5 и 7, определяющих принадлежность к классам М-1 и М+1 и не подчиняются одной из закономерностей M1=2 ≠ 6ni-1 ≠ 6nj+1 и M2 = 3 ≠ 6nj+1 ≠ 6ni-1, где: ni и nj – целые числа. Числа 2 и 3 относятся к классу особых простых чисел М0, на котором остановимся отдельно.

Принадлежность любого простого числа ni, как и чисел Мерсе́нна Mi (самих чисел и степени “m” при основании 2: Mm=2m-1), к одному из классов чисел М-1 или М+1 будем осуществлять по правилу “целого частного”. Оно заключается в следующем. Если выражения ni = 6n-1 и ni = 6n+1 преобразовать к виду: (ni +1)/6 = nk и (ni -1)/6 = no) и выполнить расчет для заданного простого числа ni, то один из полученных результатов “nk” или “no”, будет целым числом. Оно и определит принадлежность числа ni к тому или иному классу чисел. Если nk целое, то nk ⸦  М-1 , иначе nkМ+1). Это правило позволяет отнести любое простое число, в том числе и числа Мерсе́нна Mi, к одному из классов чисел – М-1 или М+1 или разбить любое множество простых чисел на 2 класса чисел. В Приложениях 3-1. “Женский ряд чисел”  и 3-2. “Мужской ряд чисел” приведены 2 класса простых чисел: от 5 до 6659 и от 7 до 6661 включительно.

Например, простое число 5 принадлежит классу женских чисел (5 ⸦ М-1), так как удовлетворяет условию (5+1)/6 = 1, простое число 7 принадлежит классу мужских чисел (7 ⸦ М+1), так как удовлетворяет условию (7-1)/6=1. Но, в случае, если (7+1)/6 = 1.33 – не целое число, то 7 – не женское число, а следовательно мужское и 7 ⸦ М+1. Например, простое число 521: (521-1)/6 = 86.6 – не мужское, но удовлетворяет условию:  (521+1)/6 = 87, следовательно, относится к женскому классу чисел (521 ⸦ М-1).

В случае, если мы имеем множество простых чисел, то процесс разделения его на 2 класса чисел (М-1 или М+1) может быть легко автоматизирован. Такая программа даст возможность:
     1. Произвести проверку множества простых чисел на их принадлежность к одному из 2-x классов чисел – женскому (М-1) или мужскому (М+1).
      2. Произвести аналогичную проверку больших и очень больших простых чисел. Результатом такой проверки может быть символ принадлежности к одному из классов чисел – m или f. Для такой проверки не обязательно делить большое число все сразу, а может быть использована процедура “последовательного обрезания” старших разрядов этого числа и деления их на “6” с целью получения остатка (чуть сложнее, чем остатка) от деления. Это будет  число от 0 до 5-ти. Оно сцепляется (кроме нулевого значения) в качестве старшего разряда с уменьшенным остатком исходного числа. Данная процедура “последовательного обрезания” повторяется вплоть до истечения всего большого числа. В зависимости от значения итогового остатка определяется принадлежность числа женскому или мужскому классам чисел. При остатке 5 – женское, при остатке 1 – мужское. При других значениях остатка исходное число не принадлежит к классу чисел (М-1) или (М+1). Такой алгоритм проверки принадлежности простого числа к одному из 2-x классов чисел (женскому (М-1) или мужскому (М+1)) возможен и для чисел Мерсе́нна, которые обладают большой разрядностью, и на любом компьютере.
     3. Разделить все множество простых чисел на 2 класса чисел – женские (М-1) и мужские (М+1). Результатом такой процедуры является 2 подмножества – женского и мужского классов чисел или символ, указывающий на принадлежность числа к тому или иному классу простых чисел.

 

Проведем проверку чисел Мерсе́нна (и само число Mi и показатель степени “n” при основании 2n) на принадлежность их к классам чисел M-1 или M+1 и сгруппируем их по принадлежности показателя степени 2 к женским (колонки 1-3 Таблица 15.5.1) или мужским (колонки 4-6) классам чисел. Полученные данные и некоторые другие характеристики чисел Мерсенна приведем в Таблице 15.5.1.

Таблица 15.5.1
==========================================================================================
Принадлежность показателя степени 2 (m) чисел Мерсе́нна к классам чисел (M-1) или (M+1)
==========================================================================================
 

N
Женский класс чисел (M-1)
Мужской класс чисел (M+1)
Индех
числа
Размер числа в знаках
Степень числа
(m)
Индех
числа
Размер числа в знаках
Степень числа
(m)
 
1
2
3
1
2
3
1 M3-1 2 5 M4+1 3 7
2 M6-1 6 17 M5+1 4 13
3 M10-1 27 89 M7+1 6 19
4 M11-1 33 107 M8+1 10 31
5 M13-1 157 521 M9+1 19 61
6 M19-1 1281 4253 M12+1 39 127
7 M21-1 2917 9689 M14+1 183 607
8 M22-1 2993 9941 M15+1 386 1279
9 M23-1 3376 11213 M16+1 664 2203
10 M24-1 6002 19937 M17+1 687 2281
11 M25-1 6533 21701 M18+1 969 3217
12 M28-1 25962 86243 M20+1 1332 4423
13 M32-1 227832 756839 M26+1 6987 23209
14 M33-1 258716 859433 M27+1 13395 44497
15 M35-1 420921 1398269 M29+1 33265 110503
16 M36-1 895932 2976221 M30+1 39751 132049
17 M37-1 909526 3021377 M31+1 65050 216091
18 M38-1 2098960 6972593 M34+1 378632 1257787
19 M42-1 7816230 25964951 M39+1 4053946 13466917
20 M44-1 9808358 32582657 M40+1 6320430 20996011
21 M45-1 11185272 37156667 M41+1 7235733 24036583
22 M46-1 12837064 42643801 M43+1 9152052 30402457
23 M47-1 12978189 43112609  M49+1  22338618  74207281
24 M48-1 17425170 57885161      
25 M50-1 23249425 77232917      
==========================================================================================
Пояснения к таблице.
  1. Самих значений чисел Мерсе́нна таблица не содержит, но в ней приведены размеры этих чисел в десятичных знаках. Значения первых 20-ти чисел Мерсе́нна приведены в главе “Приложения” в таблице:  Приложение 4, Числа Мерсенна.
  2. Количество женских чисел в показателе степени чисел Мерсе́нна (m) – 24, мужских – 22.
  3. Ранее сообщалось об открытии нового числа Мерсенна М49: 274207281-1 (в таблице оно выделено красным цветом), которое состоит из 22338618 десятичных разрядов. Это число должно отвечать двум требованиям. Первое, показатель степени (m) по основанию 2 будет принадлежать одному из классов простых чисел. Как показывает выполненный расчет, показатель степени (m) числа М49 принадлежит классу мужских чисел, так как: (74207281-1)/6=12367880 – целое число. Второе. Если М49 – это простое число, то значение числа также должно принадлежать классу мужских чисел. То есть, (М49-1)/6= n, где n – аттрактор и его значение должно быть также целым числом.
  4. Появилось сообщение и об открытии 50-ого простого числа Мерсенна М50: 277232917+1. Показатель степени этого числа принадлежит классу женских чисел: (77232917+1)/6=12872153. Если М50 является простым числом, то значение числа должно принадлежать классу мужских чисел и отвечать требованию: (М50-1)/6 = n, где n – значение аттрактора числа и оно должно быть также целым.
  5. Проверку принадлежности значений чисел M49 и M50 к классу женских чисел можно провести по процедуре (пункт 2 описания программы), представленной нами на данной странице.

 

0+1-1-2– Page 1 –

Recent Posts