Page 2

1-1-2– Page 2 –1-0-2

15.5 Числа Мерсенна через дуальность простых чисел

 

Анализ представленных в Таблице 15.5.1 значений чисел показывает, что:

1. Все значения чисел (M1, … , M48) принадлежат классу мужских чисел и среди них нет значений женского класса чисел. То есть, если из любого числа Мерсе́нна (М3, M4, … , M48) вычесть “1” и полученное значение разделить на 6, то мы всегда получим целое число. То есть, значения всех чисел отвечают условию 6m+1. Или, если к любому из чисел Мерсе́нна добавить единицу и полученное значение разделить на 6, то всегда получим не целое число.

2. Все значения показателей степени (m) чисел Мерсе́нна распадаются на два класса чисел. Класс женских чисел составят числа, размещенные в колонках 1-3: – (M3, M6, M10, M11, M13, M19, M21, M22, M23, M24, M25, M28, M32, M33, M35, M36, M37, M38, M42, M44, M45, M46, M47, M48). Класс мужских чисел размещен в колонках 4-6 – (M4, M5, M7, M8, M9, M12, M14, M15, M16, M17, M18, M20, M26, M27, M29, M30, M31, M34, M39, M40, M41, M43).

Разделение показателей степени m простых чисел Мерсе́нна на женские  и мужские имеют под собой объективную основу.  Докажем, почему сами значения чисел Мерсе́нна относятся к классу чисел M+1, а показатели степени m и к классу M-1, и классу M+1.

Утверждение 1. Среди простых чисел Мерсе́нна (Mm= 2m-1) нет чисел женского класса M-1.

Доказательство. Допустим, что такие числа есть. Тогда они должны удовлетворять условию:

2– 1 = 6n-1                                          (1),

где: m – показатель степени простое и соответственно нечетное число, а n – число натурального ряда чисел, которое назовем аттрактором числа Мерсенна.

Преобразуем выражение (1) и получим уравнение вида: 2m-1 = 3n или (2m-1)/3 = n. Левая часть уравнения (2m-1)/3 не может быть целым числом. В силу этого уравнение 2m-1 = 3n и при четных, и нечетных значениях n не имеет решений и следовательно:

2m-1 ≠ 3n                                              (2).

Из неравенства (2) следует, что уравнение 2m-1= 6n+1  для целых n не имеет решений, следовательно значения чисел Мерсе́нна (Mm= 2m-1) не содержат в себе простые числа женского класса M-1.

Утверждение 2. Числа Мерсе́нна (Mm= 2m-1) принадлежат классу мужских чисел M+1.

Доказательство. В этом случае уравнение 2m-1 = 6n+1 для них верно, где показатель степени (m) является простым и следовательно нечетным числом. Упростив уравнение получим выражение: 2m – 2 = 6n или:

2m-1 – 1 = 3n                                          (3)

где: m – показатель степени простое нечетное число, n – аттрактор числа Мерсенна – число натурального ряда чисел.

Уравнение (3) при определенных нечетных значениях n имеет решения. Рассмотрим на примере чисел M3-1, M6-1, M10-1, M11-1, M131 класса M1 и чисел: M2+1, M4+1, M5+1, M7+1, M9+1,  M12+1,  M14+1 класса M+1 для каких значений m и n уравнение (3) имеет решения. Данные для 12-ти чисел Мерсе́нна приведем в Таблице 15.5.2.

Таблица 15.5.2
==========================================================================================
Соотношение  аттрактора “n” и степени “m” в числах Мерсе́нна – 2m-1= 6n+1
==========================================================================================
 
 
N
 
 
Степень
m
 
 
Аттрактор
n
 
 
Соотношение
n/m
       Числа класса M1
     Числа класса M+1
 
Число
Mi
Сомножители
аттрактора n
 
Число
Mj
Сомножители
аттрактора n
m
3
5
Иные
m
3
5
7
Иные
1

———
2
———
—————
3
—————
—————–
4
—————–
——
5
——
6
7
8
—–
9
—–
——
10
——
11
12
13
14
——
15
——
1
5
5
1
M3
5
+
 +
 
 
 
 
 
 
 
2
17
21845
1285
M6
17
+
+
 
 
 
 
 
 
3
89
3094…1055
3477…9565
M10
89
+
+
+
 
 
 
 
 
 
4
107
2704…8021
2527….1103
M11
107
+
 
 
 
 
 
 
5
521
———
1144…9525
—————
—————–
M13
——
521
+
+
 
 
 
 
 
 
6
7
21
3
 
 
 
 
 
M4
7
+
 
 
 
7
13
1365
105
 
 
 
 
 
M5
13
+
+
+
 
8
19
87381
4599
 
 
 
 
 
M7
19
+
+
+
9
31
1073741823
357913941
 
 
 
 
 
M8
31
+
+
+
10
61
3843….2325
6300….2825
 
 
 
 
 
M9
61
+
+
+
+
11
127
2835….7621
 
 
 
 
 
M12
127
+
+
 
12
607
8852….8021
 
 
 
 
 
M14
607
+
+
+
==========================================================================================

 

Пояснения к таблице.

1. M1 – класс женских чисел (1-5), M+1 – класс мужских чисел (6-12), m – показатель степени и n – аттрактор чисел Мерсе́нна. m – простые числа, n – составные числа натурального ряда чисел.
2. Соотношение “n/m” всегда целое и всегда нечетное число. Это означает, что m вхоит в n как один из его сомножителей. Для M3: n = m, для M4: n = 3m, для всех последующих значений n >> m.
3. Знак “+” подтверждает наличие числа указанного в шапке колонки.
4. В понятие “иные” в качестве сомножителей могут входить любые простые числа. Так для числа M9 помимо сомножителей 3,5,7 входят также числа: 3, 5, 11,13, 31, 41,61,151, 331, 1321, которые представляют все 3 класса чисел: М0 (3), M1 (5, 11, 41, ) и M+1 (13, 31, 61, 151, 331, 1321).
5. Число 5 входит в качестве сомножителя в M3 через число m (строка 1), как и 7 в M4 через число m (строка 6).
6. Число 3 входит в качестве сомножителя во все числа мужского ряда M+1.

 

0+1-1-2– Page 2 –

Recent Posts