Page 3

1-1-2– Page 3 –1-0-2

 15.5 Числа Мерсенна через дуальность простых чисел

 

Утверждение 3. В числах Мерсе́нна (2m-1) степень m представляет собой простые числа женского M-1 и мужского M+1 рядов чисел.

Доказательсво. Предположим, что это так. В этом случае для класса чисел M-1 показатели степени m должны удовлетворять условию 6n-1, а для класса чисел M+1 условию 6n+1. Запишем для этих условий 2 уравнения, подставив вместо m: 6n-1 или 6n+1: 26n-1-1 = 6n+1 и 26n+1-1 = 6n+1. И после преобразований получим:

       для M-1: 26n1-2 – 1 = 3n2                            (4)

       для M+1: 26n3  – 1 = 3n4                            (5),

где: n1, n2, n3, n4 – числа натурального ряда.для

Уравнения (4) и (5) имеют четную степень числа 2 (6n и 6n-2) и, следовательно, в левой части уравнения степень 2-х образует четное число, которое после уменьшения на 1 получает нечетное значение. В этом случае уравнения (4) и (5) имеют решения при таких значениях n1 и n2 левой части, когда (26n1-2 – 1)/3 и (26n2-1)/3 будут целыми числами, а n3 и n4 правой части имеют нечетные значения. Из этого следует, что предположение о том, что степень m представляют простые числа классов M-1 и M+1, является верным.

Ниже в таблице 15.5.3 приведена схема дуальности чисел Мерсенна (Mi= 2m – 1), где: Wi – степень числа m, принадлежащего женскому классу простых чисел, Мj – мужскому.

Таблица 15.5.3
==========================================================================================
Схема дуальности чисел Мерсенна Mi = 2m – 1
==========================================================================================
Степень m M+1
↓ M-1
M
M2 
M
↓ … ↓
 
M22 
W1  

 

 

 Mi числа Мерсенна (Mi = 2m 1)

 

W2  →
W3  →
…   →
W24  →
==========================================================================================

 

Разделение чисел Мерсенна (Mi = 2m – 1) на 2 класса – мужские и женские – порождает дополнительную возможность осуществлять ариметические операции между двумя принадлежащими разным классам числами посредством операций с их степенями или аттракторами. Операции с простыми числами рассмотрены в главе: “Начала теории простых чисел”, которые дают нам одну из возможностей взаимного преобразования мужского и женского классов простых чисел. Рассмотрим несколько примеров ариметических операций на числах Мерсенна.

Сложение 2-x женского и мужского чисел (Mi + Mj). Сумма представляет собой четное составное число, которое можно представить через числа Мерсенна в общем виде как:

Mi + Mj = (26n1-11) + (26n2+11) = 26n1-1 1+ 26n2+1 1                (6).

Исходя из того, что разность показателей степеней между мужским и женским числами это всегда четное число и (6n2+1) (6n1-1) = 2*n, то заменив в формуле (6) 26n2+1 на 26n1-1+2n получим:

Mi + Mj = 26n1-1(1 + 22n) 2                                                              (7),

или через с аттракторы:

Mi + Mj = (ai + aj)*6 + 2                                                                    (8).

Наример: M6+M7 = 217-1+219-1 = 131071+524287 = 217*(1+219-17) – 2 = 655358.

Через аттракторы: M6+M7 = (21845 + 87381)*6 +2 = 655358.

Вычитание 2-x мужского и женского чисел (Mi – Mj), где: Mi > Mj. Результатом такой операции является четное составное число, которое можно представить через числа Мерсенна в общем виде как:

MiMj = (26n1-11) – (26n2+11) = 26n1-126n2+1                             (9).

Исходя из того, что разность показателей степеней между мужским и женским числами это всегда четное число и (6n2-1) – (6n1+1) = 2*n, то заменив в формуле (8) 26n2+1 на 26n1-1+2n получим:

MiMj = 26n2+1(22n1)                                                                    (10),

или через аттракторы:

MiMj = (aiaj)*6                                                                           (11).

Наример: M9 – M6 = 2305843009213693951 – 131071 = 217*(261-17 – 1) = 131072 * 17592186044415 = 2305843009213562880.

Через аттракторы: (384307168202282325 – 21845)*6 = 384307168202260480 * 6 = 2305843009213562880.

Умножение 2-x женского и мужского чисел – Mi+1*Mj-1. Результатом такой операции является нечетное составное число, которое можно представить через числа Мерсенна в общем виде как:

Mi * Mj = (26n1-11)*(26n2+11) = 26n1+6n226n1-126n2+1 +1                (12),

или через аттракторы:

Mi * Mj = (6n1+1)*(6n2+1)                                                                      (13).

Наример: М6*М7 = (2171)*(219 – 1) = 131071 * 524287 = 68718821377  = 217+19 – 217– 219 +1= 68719476736 – 131072 – 524288 +1 = 68718821377.

Или через аттракторы:

М6*М7 = (6*21845+1)*(6*87381+1) = 131071*524287 = 68718821377.

Деление 2-x мужского и женского чисел – Mi-1/Mj+1.Результатом такой операции является нецелое число, которое можно представить через числа Мерсенна в общем виде как:

Mj/ Mi = (26n2-11) / (26n1+11)                                                                          (14).

Исходя из того, что разность показателей степеней между мужским и женским числами это четное число и (6n2-1) – (6n1+1) = 2*n, то заменив в формуле (14) 26n2-1 на 26n1+1+2n получим:
Mi / Mj = (26n1+1+2n1)/(26n1+11) = (26n1+1*22n1)/(26n2+11)               (15),

или через аттракторы:

Mi / Mj = (6n2+1) / (6n1+1)                                                                             (16).

Наример: М7/М6= (219 – 1)/(217 – 1) = 524287/131071 = (219-17=2*217 – 1)/ (217 – 1) = 4,000023.

M8/M6 = (231 – 1) /(217 – 1) = 1073741823/131071 = (231-17=14*217 – 1)/ (217 – 1) = 8192,06.

 

0+1-1-2– Page 3 –

Recent Posts