Page 3

1-1-2 Next page– Page 3 –

16.4 Паттерн и музыка

 

Для того, чтобы соблюдалась закономерность удвоения частот одноименных нот каждой последующей октавы (fля4 = 2*fля3, где: f – численное значение частоты ноты “ля”четвертой и третьей октав), необходимо, чтобы частоты каждой последующей ноты внутри любой октавы, от “до” до “си” увеличивались в k = 12√ 2 = 1.059463 раз (Таблица 16.4.2). Такую шкалу называют с равномерно темперированным музыкальным строем, при котором частота каждой 13-ой ноты (для октавы из 12-ти нот) и каждой 10-ой ноты (для октавы из 9-ти нот) будут удваиваться. При одновременном воспроизведении нот исходной и удвоенной частот возникает резонансное,  гармоничное, стройное, консонансное, благозвучное звучание. Это правомерно для любой ноты октавы.

Таблица 16.4.2
==========================================================================================

Равномерно темперированный музыкальный строй для 12-ти и 9-ти нотных октав

==========================================================================================
Таблица коэффициента частот для 12-ти  нотной октавы (k = 12√ 2 = 1.059463) Таблица коэффициента частот для  9-ти нотной октавы (k = 9√ 2 = 1.08006)
               
1 до i (1.059463)0 1.000000 1 x i 1.000000 (1.08006)0
2
do#    
(1.059463)1 1.059463 2 xa 1.080060 (1.08006)1
3 ре (1.059463)2 1.112532 3 xb 1.166529 (1.08006)2
4 re#     
(1.059463)3 1.189207 4 xc 1.259921 (1.08006)3
5 ми (1.059463)4 1.259921 5 xd 1.360790 (1.08006)4
6 фа (1.059463)5 1.334840 6 xf 1.469734 (1.08006)5
7 fa#     
(1.059463)6 1.414214 7 xg 1.587401 (1.08006)6
8 соль (1.059463)7 1.498307 8 xh 1.714490 (1.08006)7
9 соль#
(1.059463)8 1.587401 9 xi 1.851749 (1.08006)8
10 ля (1.059463)9 1.681793 10 x i+1 2.000000 (1.08006)9
11 ля#     
(1.059463)10 1.781798        
12 си (1.059463)11 1.887749        
13 до i+1 (1.059463)12 2.000000        
==========================================================================================

 

Как видно из таблицы 16.4.2, 13-ая нота для 12-ти нотной октавы, а также 10-ая нота для 9-ти нотной октавы строго удваиваются. Такая закономерность распространяется на всю шкалу 88-ми клавишной фортепьянной клавиатуры. Особенности 9-ти нотной октавы мы рассмотрим несколько позже.

Далее, рассмотрим вопрос: можно-ли частоты всех нот клавиатуры фортепьяно выразить через одну частоту? Так, последовательность частот 12-ти нот от ноты “си” до ноты “си” на примере 2-ой октавы (Таблицы 16.4.1) можно представить как: 27.5*k0, 27.5*k1, 27.5*k2, … , 27.5*k11 = 27.5*( k0, k1, k2, … , k11) = 27.5*20*( k0, k1, k2, … , k11). Сомножитель “20” мы ввели искусственно, что не изменяет результат и позволяет рассматривать все последующие октавы через частоту 2-ой октавы. Последовательность частот от ноты “си” до ноты “си” на примере 3-ей октавы будет выглядеть следующим образом: 27.5*21*k0, 27.5*21*k1, 27.5*21*k2, … , 27.5*21*k11 = 27.5*21*( k0, k1, k2, … , k11) и на примере 4-ой октавы: 27.5*22*k0, 27.5*22*k1, 27.5*22*k2, …, 27.5*22*k11 = 27.5*22*( k0, k1, k2, … , k11). Такая закономерность сохраняется и для всех последующих октав.

На основании приведенных выше примеров сделаем следующие выводы.
Во-первых, значение частоты каждой ноты можно представить состоящей из трех сомножителей: первый – исходная частота строя “F” (в приведенных выше примерах F = 27.5), второй – степенной коэффициент удвоения частот групп нот (2j, для j=0-7), каждая из которых состоит из 12-ти последовательных нот, начиная с ноты “ля” и до ноты “ля” следующей октавы, третий – степенной коэффициент увеличения частоты ноты внутри октавы (kn, где: n = 1-11, k = 12√ 2).
Во-вторых, всю шкалу частот 12-ти нотной октавы музыкального строя в 440 герц можно выразить через одну частоту в 27.5 = 440/2/2/2/2 герц, которая будет входить в каждое выражение главным сомножителем. Для всей клавиатуры она является самой низкой по звучанию частотой, с которой вступают в резонансы более высокие созвучные ноты. Для любого другого музыкального строя, например, частотой 432 герца, самая низкая нота также войдет сомножителем в таблицу значений, но в виде числа 27 = 432/2/2/2/2. Тогда частоту каждой из 88-ми нот в общем виде можно выразить через переменную (F), которую мы будем называть исходной или главной частотой фортепьянного строя. Что касается строя, определяемого по отношению к ноте “ля” 5-ой октавы, то вряд-ли точным будет называть такую частоту базовой, которая способна делиться на более мелкие составляющие. Как, например, строй 440 герц. Да и для получения частот нот всех предыдущих октав следует базовую частоту последовательно уменьшать в два раза, а всех последующих октав – увеличивать в два раза, то есть использовать две разные процедуры, что также не отражает элементарность процесса. Такую частоту можно назвать базовой лишь в качестве камертонной настройки. В случае, если мы будем отталкиваться не от базовой, а от исходной частоты, то для получения частоты каждой из 88-ми нот нам необходимо исходную частоту (F) умножить на два сомножителя: 2j, и kn. Задав новое значение исходной частоты (F), мы легко рассчитаем любой музыкальный строй 12-ти нотной октавы.
В-третьих, распределение частот внутри 12-ти нотной октавы подчиняется строгой закономерности: внутри октавы частоты нот последовательно увеличивается в “k = 12√ 2” раз от k0 до k11.
В-четвертых, процедуру удвоения частот групп нот, начиная с ноты “ля” и до ноты “ля” следующей октавы, можно выразить через сомножитель в форме степенного коэффициента, следующего ряда: 20, 21, 22 , … ,27.

 

Page end – Page 3 –

Recent Posts