– 184 –

16.4 Паттерн и музыка Страница 3

Для того, чтобы соблюдалась закономерность удвоения частот одноименных нот каждой последующей октавы (fля₄ = 2*fля₃, где: f – численное значение частоты ноты “ля” четвертой и третьей октав), необходимо, чтобы частоты каждой последующей ноты внутри любой октавы, от “до” до “си” увеличивались в k = ¹²√ 2 = 1.059463 раз (Таблица 2). Такую шкалу называют с равномерно темперированным музыкальным строем, при котором частота каждой 13-ой ноты (для октавы из 12-ти нот) и каждой 10-ой ноты (для октавы из 9-ти нот) будут удваиваться. При одновременном воспроизведении нот исходной и удвоенной частот возникает резонансное,  гармоничное, стройное, консонансное, благозвучное звучание. Это правомерно для любой ноты октавы.

Таблица 2   .

======================= =======================  ================ ===================

Равномерно темперированный музыкальный строй для 12-ти и 9-ти нотных октав

======================= =======================  ================ ===================

======================= =======================  ================ ===================

Как видно из таблицы 2, 13-ая нота для 12-ти нотной октавы, а также 10-ая нота для 9-ти нотной октавы строго удваиваются. Такая закономерность распространяется на всю шкалу 88-ми клавишной фортепьянной клавиатуры. Особенности 9-ти нотной октавы мы рассмотрим несколько позже.

Универсальная матрица частот

Далее, рассмотрим вопрос: можно-ли частоты всех нот клавиатуры фортепьяно выразить через одну частоту? Так, последовательность частот 12-ти нот от ноты “си” до ноты “си” на примере 2-ой октавы (Таблицы 1) можно представить как: 27.5*k⁰, 27.5*k¹, 27.5*k², … , 27.5*k¹¹ = 27.5*( k⁰, k¹, k², … , k¹¹) = 27.5*2⁰*( k⁰, k¹, k², … , k¹¹). Сомножитель “2⁰” мы ввели искусственно, что не изменяет результат и позволяет рассматривать все последующие октавы через частоту 2-ой октавы. Последовательность частот от ноты “си” до ноты “си” на примере 3-ей октавы будет выглядеть следующим образом: 27.5*2¹*k⁰, 27.5*2¹*k¹, 27.5*2¹*k², … , 27.5*2¹*k¹¹ = 27.5*2¹*( k⁰, k¹, k², … , k¹¹) и на примере 4-ой октавы: 27.5*2²*k⁰, 27.5*2²*k¹, 27.5*2²*k², …, 27.5*2²*k¹¹ = 27.5*2²*( k⁰, k¹, k², … , k¹¹). Такая закономерность сохраняется и для всех последующих октав.

На основании приведенных выше примеров сделаем выводы.

Во-первых, значение частоты каждой ноты можно представить состоящей из трех сомножителей: первый – исходная частота строя “F” (в приведенных выше примерах F = 27.5), второй – степенной коэффициент удвоения частот групп нот (2^j, для j=0-7), каждая из которых состоит из 12-ти последовательных нот, начиная с ноты “ля” и до ноты “ля” следующей октавы, третий – степенной коэффициент увеличения частоты ноты внутри октавы (kⁿ, где: n = 1-11, k = ¹²√ 2).

Во-вторых, всю шкалу частот 12-ти нотной октавы музыкального строя в 440 герц можно выразить через одну частоту в 27.5 = 440/2/2/2/2 герц, которая будет входить в каждое выражение главным сомножителем. Для всей клавиатуры она является самой низкой по звучанию частотой, с которой вступают в резонансы более высокие созвучные ноты. Для любого другого музыкального строя, например, частотой 432 герца, самая низкая нота также войдет сомножителем в таблицу значений, но в виде числа 27 = 432/2/2/2/2. Тогда частоту каждой из 88-ми нот в общем виде можно выразить через переменную (F), которую мы будем называть исходной или главной частотой фортепьянного строя. Что касается строя, определяемого по отношению к ноте “ля” 5-ой октавы, то вряд-ли точным будет называть такую частоту базовой, которая способна делиться на более мелкие составляющие. Как, например, строй 440 герц. Да и для получения частот нот всех предыдущих октав следует базовую частоту последовательно уменьшать в два раза, а всех последующих октав – увеличивать в два раза, то есть использовать две разные процедуры, что также не отражает элементарность процесса. Такую частоту можно назвать базовой лишь в качестве камертонной настройки. В случае, если мы будем отталкиваться не от базовой, а от исходной частоты, то для получения частоты каждой из 88-ми нот нам необходимо исходную частоту (F) умножить на два сомножителя: 2^j, и kⁿ. Задав новое значение исходной частоты (F), мы легко рассчитаем любой музыкальный строй 12-ти нотной октавы.

В-третьих, распределение частот внутри 12-ти нотной октавы подчиняется строгой закономерности: внутри октавы частоты нот последовательно увеличивается в “k = ¹²√ 2” раз от k⁰ до k¹¹.

В-четвертых, процедуру удвоения частот групп нот, начиная с ноты “ля” и до ноты “ля” следующей октавы, можно выразить через сомножитель в форме степенного коэффициента, следующего ряда: 2⁰, 2¹, 2² , … ,2⁷.

В-пятых, значения таблицы частот можно легко расширить и для любой иной клавиатуры с большим или меньшим количеством клавишей и октав. Например, 108-ми или 72-х нотные клавиатуры.

В-шестых, изменяя количество нот в октаве мы можем легко сформировать новую таблицу, лишь изменив значения степени “S” коэффициента “k = ^S√ 2”, и его диапазона от k⁰ до k^S-1. Так, для 9-ти нотной октавы “S = 9”, а значение коэффициента “k = ⁹√ 2”, будет изменяться от k⁰ до k⁸. Количество строк и столбцов таблицы также изменится.

В-седьмых, мы можем легко оценить диапазон частот для любого значения исходной частоты F_d = Fi, которая и является нижней границей диапазона, и рассчитать частоту верхней границы по формуле: Fu = F_d*2⁷*k³. Так, например, для исходной частоты F_d = 108 герц верхняя частота составит: Fu = 16,439.6 герц.

.

– 184 –