– 150 –

15.4 Числа Мерсенна через дуальность простых чисел Страница 2

Утверждение 1. Среди простых чисел Мерсе́нна (M_m= 2^m-1) нет женского класса чисел M_-1.

Доказательство. Допустим, что такие числа есть. Тогда они должны удовлетворять условию:

2^m – 1 = 6n-1                                          (1),

где: m – показатель степени простое и соответственно нечетное число, а n – число натурального ряда чисел, которое назовем аттрактором числа Мерсенна.

Преобразуем выражение (1) и получим уравнение вида: 2^m-1 = 3n или (2^m-1)/3 = n. Левая часть уравнения (2^m-1)/3 не может быть целым числом. В силу этого уравнение 2^m-1 = 3n и при четных, и нечетных целочисленных значений n не имеет решений, и следовательно:

2^m-1 ≠ 3n                                              (2).

Из неравенства (2) следует, что уравнение 2^m-1= 6n+1  для целых n не имеет решений, следовательно значения чисел Мерсе́нна (M_m= 2^m-1) не содержат в себе простые числа женского класса M_-1.

Утверждение 2. Числа Мерсе́нна (M_m= 2^m-1) принадлежат классу мужских чисел M₊₁.

Доказательство. В этом случае уравнение 2^m-1 = 6n+1 для них верно, где показатель степени (m) является простым и следовательно нечетным числом. Упростив уравнение получим выражение: 2^m – 2 = 6n или:

2^m-1 – 1 = 3n                                          (3)

где: m – показатель степени простое нечетное число, n – аттрактор числа Мерсенна – число натурального ряда чисел.

Уравнение (3) при определенных нечетных значениях n имеет решения. Рассмотрим на примере чисел M3_-1, M6_-1, M10_-1, M11_-1, M13_–1 класса M_–1 и чисел: M2₊₁, M4₊₁, M5₊₁, M7₊₁, M9₊₁,  M12₊₁,  M14₊₁ класса M₊₁ для каких значений m и n уравнение (3) имеет решения. Данные для 12-ти чисел Мерсе́нна приведем в Таблице 15.5.2.

Таблица 15.4.2   .

======================= =======================  ================ ===================

Соотношение  аттрактора “n” и степени “m” в числах Мерсе́нна – 2^m-1= 6n+1

======================= =======================  ================ ===================

======================= =======================  ================ ===================

Пояснения к таблице.

1. M_–1 – класс женских чисел (1-5), M₊₁ – класс мужских чисел (6-12), m – показатель степени и n – аттрактор чисел Мерсе́нна. m – простые числа, n – составные числа натурального ряда чисел.

2. Соотношение “n/m” всегда целое и всегда нечетное число. Это означает, что m входит в n как один из его сомножителей. Для M3: n = m, для M4: n = 3m, для всех последующих значений n >> m.

3. Знак “+” подтверждает наличие числа указанного в шапке колонки.

4. В понятие “иные” в качестве сомножителей могут входить любые простые числа. Так для числа M9 помимо сомножителей 3,5,7 входят также числа: 3, 5, 11,13, 31, 41,61,151, 331, 1321, которые представляют все 3 класса чисел: М₀ (3), M_–1 (5, 11, 41, ) и M₊₁ (13, 31, 61, 151, 331, 1321).

5. Число 5 входит в качестве сомножителя в M3 через число m (строка 1), как и 7 в M4 через число m (строка 6).

6. Число 3 входит в качестве сомножителя во все числа мужского ряда M₊₁.

.

– 150 –