– 151 –

 15.4 Числа Мерсенна через дуальность простых чисел Страница 3

Утверждение 3. В числах Мерсе́нна (2^m-1) степень “m” представляет собой одно из значений, относящемуся к женскому M_-1 или к мужскому M₊₁ рядам простых чисел.

Доказательство. Предположим, что это так. В этом случае для класса чисел M_-1 показатели степени m должны удовлетворять условию 6n-1, а для класса чисел M₊₁ условию 6n+1. Запишем для этих условий 2 уравнения, подставив вместо m: 6n-1 или 6n+1: 2^6n-1-1 = 6n+1 и 2⁶ⁿ⁺¹-1 = 6n+1. И после преобразований получим:

       для M_-1: 2^6n1-2 – 1 = 3n₂                            (4),

       для M₊₁: 2⁶ⁿ³  – 1 = 3n₄                            (5),

где: n₁, n₂, n₃, n₄ – числа натурального ряда.

Уравнения (4) и (5) имеют четную степень числа 2 (6n и 6n-2) и, следовательно, в левой части уравнения степень 2-х образует четное число, которое после уменьшения на 1 получает нечетное значение. В этом случае уравнения (4) и (5) имеют решения при таких значениях “n₁” и “n₂” левой части, когда (2^6n1-2 – 1)/3 и (2⁶ⁿ²-1)/3 будут целыми числами, а “n₃” и “n₄” правой части имеют нечетные значения. Из этого следует, что предположение о том, что степень m представляют простые числа классов M_-1 и M₊₁, является верным.

Ниже в таблице 15.4.3 приведена схема дуальности чисел Мерсенна (M_i= 2^m – 1), где: Wi – степень числа m, принадлежащего женскому классу простых чисел, Мj – мужскому.

Таблица 15.4.3

==========================================================================================

Схема дуальности чисел Мерсенна M_i = 2^m – 1

==========================================================================================

Степень m → M+1 ↓ M-1 ↓	M1  ↓	M2  ↓	M3  ↓	↓ … ↓	M22  ↓
W1   →	Mi – числа Мерсенна (Mi = 2m – 1)
W2  →
W3  →
…   →
W24  →

==========================================================================================

Разделение чисел Мерсенна (M_i = 2^m – 1) на 2 класса – мужские и женские – порождает дополнительную возможность осуществлять арифметические операции между двумя принадлежащими разным классам числами посредством операций с их степенями или аттракторами. Операции с простыми числами рассмотрены в главе: “Начала теории простых чисел”, которые дают нам одну из возможностей взаимного преобразования мужского и женского классов простых чисел. Рассмотрим несколько примеров арифметических операций на числах Мерсенна.

Сложение 2-x женского и мужского чисел (Mi + Mj). Сумма представляет собой чётное составное число, которое можно представить через числа Мерсенна в общем виде как:

Mi + Mj = (2^6n1-1 – 1) + (2⁶ⁿ²⁺¹ – 1) = 2^6n1-1 – 1+ 2⁶ⁿ²⁺¹ – 1                (6).

Исходя из того, что разность показателей степеней между мужским и женским числами это всегда чётное число и (6n₂+1) – (6n₁-1) = 2*n, то заменив в формуле (6) 2⁶ⁿ²⁺¹ на 2^6n1-1+2n получим:

Mi + Mj = 2^6n1-1(1 + 2²ⁿ) – 2                                                              (7),

или через с аттракторы:

Mi + Mj = (a_i + a_j)*6 + 2                                                                    (8).

Например: M6+M7 = 2¹⁷-1+2¹⁹-1 = 131071+524287 = 2¹⁷*(1+2^19-17) – 2 = 655358.

Через аттракторы: M6+M7 = (21845 + 87381)*6 +2 = 655358.

Вычитание 2-x мужского и женского чисел (Mi – Mj), где: Mi > Mj. Результатом такой операции является четное составное число, которое можно представить через числа Мерсенна в общем виде как:

Mi – Mj = (2^6n1-1 – 1) – (2⁶ⁿ²⁺¹ – 1) = 2^6n1-1 – 2⁶ⁿ²⁺¹                             (9).

Исходя из того, что разность показателей степеней между мужским и женским числами это всегда четное число и (6n₂-1) – (6n₁+1) = 2*n, то заменив в формуле (8) 2⁶ⁿ²⁺¹ на 2^6n1-1+2n получим:

Mi – Mj = 2⁶ⁿ²⁺¹(2²ⁿ – 1)                                                                    (10),

или через аттракторы:

Mi – Mj = (a_i – a_j)*6                                                                           (11).

Например: M9 – M6 = 2305843009213693951 – 131071 = 2¹⁷*(2^61-17 – 1) = 131072 * 17592186044415 = 2305843009213562880.

Через аттракторы: (384307168202282325 – 21845)*6 = 384307168202260480 * 6 = 2305843009213562880.

Умножение 2-x женского и мужского чисел – Mi₊₁*Mj_-1. Результатом такой операции является нечетное составное число, которое можно представить через числа Мерсенна в общем виде как:

Mi * Mj = (2^6n1-1 – 1)*(2⁶ⁿ²⁺¹ – 1) = 2^6n1+6n2 – 2^6n1-1 – 2⁶ⁿ²⁺¹ +1                (12),

или через аттракторы:

Mi * Mj = (6n₁+1)*(6n₂+1)                                                                      (13).

Например: М6*М7 = (2¹⁷ – 1)*(2¹⁹ – 1) = 131071 * 524287 = 68718821377  = 2¹⁷⁺¹⁹ – 2¹⁷– 2¹⁹ +1= 68719476736 – 131072 – 524288 +1 = 68718821377.

Или через аттракторы:

М6*М7 = (6*21845+1)*(6*87381+1) = 131071*524287 = 68718821377.

Деление 2-x мужского и женского чисел – Mi_-1/Mj₊₁.Результатом такой операции является нецелое число, которое можно представить через числа Мерсенна в общем виде как:

Mj/ Mi = (2^6n2-1 – 1) / (2⁶ⁿ¹⁺¹ – 1)                                                                          (14).

Исходя из того, что разность показателей степеней между мужским и женским числами это четное число и (6n₂-1) – (6n₁+1) = 2*n, то заменив в формуле (14) 2^6n2-1 на 2^6n1+1+2n получим:
Mi / Mj = (2^6n1+1+2n – 1)/(2⁶ⁿ¹⁺¹ – 1) = (2⁶ⁿ¹⁺¹*2²ⁿ – 1)/(2⁶ⁿ²⁺¹ – 1)               (15),

или через аттракторы:

Mi / Mj = (6n₂+1) / (6n₁+1)                                                                             (16).

Например: М7/М6= (2¹⁹ – 1)/(2¹⁷ – 1) = 524287/131071 = (2^19-17=2*2¹⁷ – 1)/ (2¹⁷ – 1) = 4,000023.

M8/M6 = (2³¹ – 1) /(2¹⁷ – 1) = 1073741823/131071 = (2^31-17=14*2¹⁷ – 1)/ (2¹⁷ – 1) = 8192,06.

.

– 151 –