– 147 –

 15.4  Числа Мерсенна через дуальность простых чисел

Природа наделила человека стремлением к обнаружению истины

Цицерон

Мы не создали язык математики, мы его обнаружили

Н.Тесла

Краткое содержание. Все числа Мерсе́нна (M1, … , M48) в выражении вида M_i=2^m-1, являются простыми и принадлежат классу мужских чисел, формируемых по закону: M₊₁ = {1 + 6*n_j}. Значения показателей степени “m” в выражении M_i=2^m-1 также являются простыми числами, но принадлежат и женскому, и мужскому классам чисел. Рассмотрим, почему значения чисел Мерсе́нна относятся к классу мужских чисел M₊₁, а значения показателей степени “m” к классам M_-1 и M₊₁. Такая особенность разделения самих чисел Мерсе́нна  (M1, … , M48) и их показателей степени “m” на классы M_-1 и M₊₁ позволяет спрогнозировать область возможных значений последующих чисел Мерсе́нна.

В главе 16.0.1 Идеальный мир простых чисел мы привели формулу образования простых чисел идеального дуального мира для Лучей творения 1 и 2 по законам: (21*n-2 -1)/(2n-1) – [1] и (21*n -1)/(2n+1) – [2], где знаменатели (2n-1) и (2n+1) для определенных значений “n” принимают значения простых чисел. В этом случае выражения [1] и [2] также принимают целочисленные значения. То есть тогда, когда числитель и знаменатель становятся соизмеримыми, гармонизированными. Числа Мерсе́нна вида M_i=2^m-1 соответствуют числителю Луча творения 2: (21*n -1) идеального дуального  мира, который выражает класс мужских чисел. Знаменатель таких чисел (2n+1), где “n” – натуральный ряд чисел, принимает значения нечетных чисел, в том числе простых чисел мужского M-1, и  женского M+1 классов. Например, 3,5,7,11,13,…, что соответствует показателю степени “m“, и 5, 11 относятся к женскому классу чисел, 7, 13 – к мужскому. 3 – особое простое число.

Далее, рассмотрим известные на сегодня значения чисел Мерсе́нна. В Главах 13, 14, 15.1 – 15.4 мы рассмотрели формирование и развитие паттерна Мироздания по законам простых чисел, распадающихся на 2 класса чисел – мужские и женские. Среди простых чисел известны числа Мерсе́нна вида: M_i =2^m-1, которых к настоящему времени открытo 50, и каждое последующее находится в области громадных значений. Развитие вычислительной техники способствует открытию новых чисел Мерсе́нна за счет вычислительного ресурса. Так 5 февраля 2013 года профессор Кёртис Купер из университета Центрального Миссури США открыл 48-ое число Мерсе́нна (M48). До недавнего времени оно являлось самым большим простым числом, состоящим из 17425170 десятичных разрядов. Если записать его на бумаге обычного формата по 2500 знаков на каждой странице, то число займет 6971 страницу. Такое число сложно записать, но чтобы его найти необходимо было задействовать громадные вычислительные ресурсы.

Числа Мерсе́нна – числа вида M_i =2^m-1, для m>1, в которых и значение числа M_i (в данном случае M48), и показатель степени “m” (m = 57885161) являются простыми числами (M₄₈ = 2^57885161 – 1). Рассмотрим числа Мерсе́нна через призму дуальности простых чисел и ответим на вопрос, как соотносятся числа Мерсе́нна с женским М_-1 и мужским М₊₁ классами простых чисел, ряды которых начинаются от чисел 5 и 7 (“6n-1” и “6n+1” при n=1). Все множество простых чисел класса M_-1 – это множество чисел, которые удовлетворяют условию: p_i = 6n-1, а класса М₊₁ – условию p_j = 6n+1, где p_i и p_j – простые числа соответствующего класса. Исключим числа M1=2 и M2=3 из класса чисел Мерсе́нна (М_k, где k – порядковый номер числа), так как они меньше пороговых значений чисел 5 и 7, определяющих принадлежность к классам М_-1 и М₊₁ и не подчиняются одной из закономерностей M1=2 ≠ 6n_i-1 ≠ 6n_j+1 и M2 = 3 ≠ 6n_j+1 ≠ 6n_i-1, где: n_i и n_j – целые числа. Числа 2 и 3 относятся к классу особых простых чисел М₀, на котором остановимся отдельно.

Принадлежность любого простого числа n_i, как и чисел Мерсе́нна M_i (самих чисел и степени “m” при основании 2: M_m=2^m-1), к одному из классов чисел М_-1 или М₊₁ будем осуществлять по правилу “целого частного”. Оно заключается в следующем. Если выражения n_i = 6n-1 и n_i = 6n+1 преобразовать к виду: (n_i +1)/6 = n_k и (n_i -1)/6 = n_o) и выполнить расчет для заданного простого числа n_i, то только один из полученных результатов (“n_k” или “n_o”), будет целым числом. Он и определит принадлежность числа n_i к тому или иному классу чисел. Если n_k целое, то n_k ⸦  М_-1 , иначе n_k ⸦ М₊₁). Это правило позволяет отнести любое простое число, в том числе и числа Мерсе́нна M_i, к одному из классов чисел: М_-1 или М₊1, или разбить любое множество простых чисел на 2 класса чисел. В Приложениях “3-1. Женский ряд простых чисел”  и “4-1. Мужской ряд простых чисел” приведены 2 класса простых чисел: от 5 до 6659 и от 7 до 6661 включительно.

Например, простое число 5 принадлежит классу женских чисел (5 ⸦ М_-1), так как удовлетворяет условию +1: (5+1)/6 = 1. Простое число 7 принадлежит классу мужских чисел (7 ⸦ М₊₁), так как удовлетворяет условию (7-1)/6=1. Но, в случае, если (7+1)/6 = 1.33 – не целое число, то 7 – не женское число, а следовательно мужское и 7 ⸦ М₊₁. Например, простое число 521: (521-1)/6 = 86.6 – не мужское, но удовлетворяет условию:  (521+1)/6 = 87, следовательно, относится к женскому классу чисел (521 ⸦ М_-1).

В случае, если мы имеем множество простых чисел, то процесс разделения его на 2 класса чисел (М_-1 или М₊₁) может быть легко автоматизирован. Такая программа даст возможность:

.      1. Произвести проверку множества простых чисел на их принадлежность к одному из 2-x классов чисел – женскому (М_-1) или мужскому (М₊₁).

      2. Произвести аналогичную проверку больших и очень больших простых чисел. Результатом такой проверки может быть символ принадлежности к одному из классов чисел – m или f. Для такой проверки не обязательно делить большое число все сразу, а может быть использована процедура “последовательного обрезания” старших разрядов этого числа и деления их на “6” с целью получения остатка (чуть сложнее, чем остатка) от деления. Это будет  число от 0 до 5-ти. Оно сцепляется (кроме нулевого значения) в качестве старшего разряда с уменьшенным остатком исходного числа. Данная процедура “последовательного обрезания” повторяется вплоть до истечения всего большого числа. В зависимости от значения итогового остатка определяется принадлежность числа женскому или мужскому классам чисел. При остатке 5 – женское, при остатке 1 – мужское. При других значениях остатка исходное число не принадлежит к классу чисел (М_-1) или (М₊₁). Такой алгоритм проверки принадлежности простого числа к одному из 2-x классов чисел (женскому (М_-1) или мужскому (М₊₁)) возможен и для чисел Мерсе́нна, которые обладают большой разрядностью. Осуществить вычислительную процедуру можно на любом компьютере.

     3. Разделить все множество простых чисел на 2 класса чисел – женские (М_-1) и мужские (М₊₁). Результатом такой процедуры является 2 подмножества – женского и мужского классов чисел или символ, указывающий на принадлежность числа к тому или иному классу простых чисел.

Проведем проверку чисел Мерсе́нна (само число M_i и показатель степени “n” при основании 2ⁿ) на принадлежность их к классам чисел M_-1 или M₊₁ и сгруппируем их по принадлежности показателя степени 2 к женским (колонки 1-3) или мужским (колонки 4-6) классам чисел. Полученные данные и другие характеристики чисел Мерсенна сведем в Таблицу 15.4.1.

Таблица 15.4.1   .

======================= =======================  ================ ===================

Принадлежность показателя степени 2 (m) чисел Мерсе́нна к классам чисел (M_-1) или (M₊₁)

======================= =======================  ================ ===================

======================= =======================  ================ ===================

======================= =======================  ================ ===================

Пояснения к таблице.

1. Значений чисел Мерсе́нна таблица не содержит. В ней приведены только размеры этих чисел в десятичных знаках. Первых 20 чисел Мерсе́нна приведены в таблице:  Приложение 5, Простые числа Мерсенна.

2. Количество как женских, так и мужских чисел в показателе степени чисел Мерсе́нна (m) по 24.

3. Ранее сообщалось об открытии нового числа Мерсенна М49: 2^74207281-1 (в таблице оно выделено красным цветом). Оно состоит из 22338618 десятичных разрядов. Это число должно отвечать двум требованиям. Первое, показатель степени (m) по основанию 2 будет принадлежать одному из классов простых чисел. Как показывает выполненный расчет, показатель степени (m) числа М49 принадлежит классу мужских чисел, так как: (74207281-1)/6=12367880 – целое число. Второе. Если М49 – простое число, то значение числа также должно принадлежать классу мужских чисел. То есть, (М49-1)/6= n, где n – аттрактор и его значение должно быть также целым числом.

4. Появилось сообщение и об открытии 50-ого простого числа Мерсенна М50: 2^77232917+1. Показатель степени этого числа принадлежит классу женских чисел: (77232917+1)/6=12872153. Если М50 является простым числом, то значение числа должно принадлежать классу мужских чисел и отвечать требованию: (М50-1)/6 = n, где n – значение аттрактора числа и оно должно быть также целым.

5. Проверка принадлежности значений чисел M49 и M50 к одному из классов чисел (M_-1 или M₊₁) проводилась по процедуре, представленной нами выше на странице (пункт 2 описания программы).

6. Появившееся сообщение о новом большом простом числе M52 (2^136279841 -1), показатель степени которого относится к классу женских чисел: (136279841+1)/6 = 22713307 – целое, а само число, как и все другие числа Мерсе́нна, будет мужского класса чисел: ((2^136279841 -1) – 1)/6 = целое?

Выводы. Анализ представленных в Таблице 15.4.1 значений чисел показывает, что:

1. Все значения чисел Мерсе́нна (M1, … , M48) принадлежат классу мужских чисел и среди них нет значений женского класса чисел. То есть, если из любого числа Мерсе́нна (М3, M4, … , M48) вычесть “1” и полученное значение разделить на 6, то мы всегда получим целое число. То есть, значения всех чисел отвечают условию 6m+1. Или, если к любому из чисел Мерсе́нна добавить единицу и полученное значение разделить на 6, то всегда получим не целое число. Отметим, что все значения чисел Мерсе́нна оканчиваются на “1” или “7”.

2. Значение показателя степени числа Мерсе́нна в рамках каждого класса чисел (M-1 и M+1) должно отвечать условию: (Mi-1 – Mj-1 )/6=целое, где “i”, “j” – ∈ Mi-1 – любое из значений показателя степени.

3. Все значения показателей степени (m) чисел Мерсе́нна распадаются на два класса чисел. Класс женских чисел составят числа, размещенные в колонках 1-3: – (M3, M6, M10, M11, M13, M19, M21, M22, M23, M24, M25, M28, M32, M33, M35, M36, M37, M38, M42, M44, M45, M47, M48). Класс мужских чисел размещен в колонках 4-6 – (M4, M5, M7, M8, M9, M12, M14, M15, M16, M17, M18, M20, M26, M27, M29, M30, M31, M34, M39, M40, M41, M43, M46).

4. Проверка принадлежности большого простого числа к классу мужских (Mi-1 ∈ M+1) сама по себе непростая проблема. То есть, добавление или вычитание единицы к такому числу и проверка его делимости на 6. Так вновь открытое число M52, состоит из более 41 миллиона цифр. Какой компьютер осилит его? Поэтому сформулируем её как отдельную задачу: “возможна-ли проверка делимости на 6 большого простого числа лишь по части этого числа, и если возможна, то сколько можно взять младших разрядов числа для такой проверки“? Так для числа М8 2147483647 ((M8-1)/6 = 357913941 – целое) для проверки “делимости на 6” достаточно 8 последних разрядов: (47483647-1)/6 = 7913941 – целое. Для числа М9 в 19 разрядов проверке удовлетворяет 8 разрядов – 13693951. Для числа М10 в 27 разрядов – достаточно 6 разрядов – 562111. Для числа М11 в 33 разряда – достаточно также 6 разрядов – 288127. Но нужно понимать, что такая проверка является необходимым, но не достаточным условием.

Разделение показателей степени “m” простых чисел Мерсе́нна на женские  и мужские условно, но имеют под собой объективную основу.  Докажем, почему сами значения чисел Мерсе́нна относятся к классу мужских чисел M₊₁, а показатели степени “m” и к классу женских M_-1, и к классу мужских M₊₁.

 – 147 –